Les fractions et les nombres décimaux

1] Qu’est qu’une fraction ? Qu’exprime-t-elle ? Pourquoi pose-t-elle des problèmes ?

Une fraction peut-être envisagée sous trois aspects :

1) Le partage

2) Le rapport                                                           Lien vers les fiches de travail

3) Le nombre

Les items 1) et 2) apparaissent (et sont apparus historiquement) comme les points de départs de la nécessaire création de nouvelles données pour parler de certaines quantités ou grandeurs (partage) où de rapport entre ces quantités et ses grandeurs.

Ainsi une fraction est avant toute chose un moyen de nommer des quantités pour lesquelles les nombres entiers ne suffisent plus.

Les mathématiciens ont établis des liens entre les fractions et les nombres déjà existants à savoir les entiers.

Ainsi l’étude et l’observation des quantités représentées par les fractions a conduit à considérer les fractions comme des nombres.

Une fraction est donc également un nombre.

Là se pose le premier gros problème car ce nombre ne s’écrit pas sous la forme habituelle si bien que l’on est toujours tenté de vouloir l’écrire différemment.

Il convient donc de bien insister sur le fait que indépendamment de sa présentation une fraction est à elle seule un nombre.

Ce nouveau nombre possède ses propres caractéristiques de représentations et les éléments qui le composent ont des noms particuliers qu’il convient de connaître.( numérateur ,quelle est la quantité que l’on partage, dénominateur, en combien de parties on partage, barre de fractions).

Pour les nommer on va également créer de nouveaux mots (demi, tiers, ……)

Ces nouveaux nombres étant clairement nommés il convient maintenant de savoir comment les situer rapidement par rapport aux nombres déjà existant.

On distingue alors deux catégories :

-Les fractions décimales

-Les fractions non décimales

2] Qu’est ce qu’une fraction décimale ? Pourquoi s’intéresser aux fractions décimales ?

Notre système de numération utilise la base 10.

Ainsi en partageant une unité en 10 parties égales on peut nommer chacune de ses parties (9 au total) en utilisant les chiffres de 1 à 9. (un dixième, …….)

De même, en partageant les nouvelles parties en 10 parties égales (on obtient alors des parties de un centième) on peut nommer chacune de ces parties (99 au total) en utilisant les nombres de 1 à 99. (un centième, …, 50 centièmes,….) Et ainsi de suite.

Imaginons que l’on prenne 56 parties de un centième.

56 c’est (5x10) + 6 (car nous sommes en base 10)

On a donc pris 5 fois 10 parties de 1 centième et 6 parties de 1 centième.

Or 10 parties de 1 centième c’est 1 dixième.(car 10 x 10 = 100)

On a donc pris 5 parties de 1 dixièmes (donc 5 dixièmes) et 6 centièmes.

Donc pour les fractions dont le dénominateur peut s’écrire sous la forme d’une puissance de 10, on peut dire facilement quel est le nombre de sous parties décimales qui les composent.

Ces fractions sont les fractions décimales.

Il ne reste plus alors qu’à rendre les élèves capables de décomposer une fraction décimale sous la forme de la somme d’un entier et d’une fraction décimale inférieure à 1.

(l’étape suivante, au collège, sera de décomposer une fraction sous la forme de la somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1).

Le passage à l’écriture à virgule pour les fractions décimales se fait alors « sans problème » et le travail sur la comparaison est amorcé.

3] Quelles sont les difficultés posées par les fractions non décimales ?Quelles fausses représentations peuvent-elles faire naître ?

Dans le cas d’une fraction non décimale on ne peut exprimer de manière précise celle-ci en fonction des chiffres de 0 à 9 que sous la forme de l’écriture fractionnaire.

Néanmoins pour situer ce nombre par rapport aux autres nous sommes tentés d’avoir recours à la valeur approchée de ce nombre en observant le quotient dans la division du numérateur par le dénominateur.

Le problème pour les élèves réside alors dans le fait que la fraction n’est plus alors considérée comme un nombre mais que sa valeur approchée est le nombre qui lui correspond.

La fraction devient alors une opération à laquelle il faut donner un résultat.

L’élève en difficulté perçoit alors la fraction comme une juxtaposition de nombres sans sens et va chercher à remplacer cette fraction par une suite de chiffres entiers dans laquelle figure une virgule. (Il reproduira cette erreur par la suite avec les racines carrées)

Le problème réside donc dans la mise en place de l’équivalence entre la fraction en tant que partage et la fraction prise comme quotient.

Comme le précisent les programmes cette prise en compte de la fraction quotient n’est pas de l’ordre des compétences exigibles en cycle 3.

Elle doit faire l’objet, au collège, d’une approche lente basée sur des tentatives, des vérifications et la mise en place d’une justification plus théorique.

4] les nombres décimaux

C’est un ensemble qui contient : - les nombres entiers

- Les fractions décimales

- Les nombres à virgule à partie entière finie

Il est important au collège que les élèves connaissent la nature d’un nombre indépendamment de son écriture.

En élémentaire on ne parle pas des ensembles, mais on travaille sur l’équivalence des écritures d’un même nombre.

Ainsi : 24 = 24,00 = 24/1

Il convient également de veiller à ce que les élèves ne confondent pas nombre décimal et écriture décimale d’un nombre.(on pourrait également dire que tout nombre décimal est une fraction mais que toute fraction n’est pas nécessairement un nombre décimal)

Ainsi 2/3 n’est pas un nombre décimal mais son écriture décimale est 0,6666666.... (ce nombre a une infinité de décimales)

L’ensemble des fractions est un autre ensemble appelé ensemble des rationnels.